解的延拓定理证明

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解的延拓定理证明如下：

延拓定理是一种数学定理，它指出，如果一个函数f(x)在某一点x0处可导，那么在x0处的导数f(x0)等于f(x)在x0处的切线斜率。延拓定理的证明是基于泰勒级数的，它可以用来证明函数的可导性。

延拓定理的公式可以表示为：f(x0)=lim(h-)[f(x0+h)-f(x0)]/h。这里，f(x0)是函数f(x)在x0处的导数，h是一个极小的正数，f(x0+h)是函数f(x)在x0+h处的值，f(x0)是函数f(x)在x0处的值。

延拓定理的应用非常广泛，它可以用来证明函数的可导性也可以用来求解函数的导数。它还可以用来求解曲线的切线斜率，以及求解曲线的极值点。此外，延拓定理还可以用来求解微分方程，以及求解积分方程。

总之，延拓定理是一种重要的数学定理，它可以用来证明函数的可导性，也可以用来求解函数的导数，以及求解曲线的切线斜率，极值点，微分方程和积分方程。

解的延拓：

不能继续延拓的解称为饱和解，饱和解的存在区间称为解的最大存在区间。如果最大存在区间包含端点，那么解仍可以按上述方法再延拓，因而最大存在区间一定是开区间，解的延拓定理给出了上述延拓的最终结果。

设f(x，y)在区域D?R2上连续，且关于y满足局部李普希兹条件，则对于任意的(x0，y0)∈D，初值问题方程①的解y=y(x)的最大存在区间可能是[x0，+∞)或[x0，b)，式中b是有限数，且当x→b-0时，y=y(x)无界或 (x，y(x))趋于D的边界。向x0的左方延拓是完全类似的。

考研数一，高阶非齐次常微分方程求解可以用算子法码？

《常微分方程》课程教学纲要

一、课程概述

（一）课程学时与学分

课程代码：1302，开课专业：数学与应用数学（师范）专业，第6学期开课，课程总学时72学时，4学分。课程总学时包括课堂讲授54学时，习题课18学时。

（二）课程性质

《常微分方程》这门课程是利用数学分析，高等代数，复变函数等课程中的基础知识，介绍常微分方程中方程的一般常用解法和基本理论。它将为数学，力学，物理系的学生在后期的学习中服务，对于数学联系实际和各种数学方法的灵活运用是不可缺少的基本训练。属于院专业必修课

（三）教学目的

常微分方程?是高等师范院校本科教育专业继数学分析，高等代数等基础课之后开设的一门主干课，必修课。着重向学生介绍常微分方程的一般常用解法和基本理论，其中包括用初等积分法求解常见的几种类型一阶微分方程和如何求解高阶线形微分方程与方程组，以及微分方程理论中最重要的理论基础：解的存在唯一性定理，解的延展定理。在提高学生解决实际问题的能力的同时，简要的介绍该门课程的基本思想和方法，培养学生对一般微分方程进行分析的能力。

（四）本课程与其他课程的联系与分工

《常微分方程》这门课程是以数学分析，高等代数，复变函数等课程中的知识为基础的，它将为数学系的学生在后期的学习中提供帮助。如：微分几何，偏微分方程等课程。常微分方程这门课程是与实际联系比较紧密的一门课程，对于数学联系实际和各种数学方法的灵活运用是不可缺少的基本训练。

二、课程教学的基本内容与要求

（一）教学要求

1、要结合学生实际水平和能力学习常微分方程。

2、掌握微分方程中解方程的基本方法（分离变量法；恰当方程；一阶线性方程；初等变换法中的齐次方程，伯努里方程，黎卡提方程以及积分因子法）

3、掌握最基本的理论基础：解的存在唯一性定理和解的延展定理。

4、掌握高阶线形微分方程和线形微分方程组的某些定理和基本解法。

5、了解奇解与包络的概念及二者的求法。

（二）课程总学时数与课程学时分配

1、总学时: 18 4=72(学时)

2、课程学时分配表

章 次 内 容 学时

第一章 基本概念 4

第二章 初等积分法 20

第三章 毕卡定理 12

第四章 奇解 8

第五章 高阶微分方程 8

第六章 高阶微分方程组 20

合计 72

（三）教学内容

第一章 绪 论

（一）教学目的和要求

掌握微分方程及解的定义，掌握微分方程及解的几何解释以及线素场的基本做法。

（二）教学重点与难点

1、微分方程及解的定义

2、线素场的基本做法

（三）教学方式

讲授为主，多举例题，多作练习。

（四）教学内容

第一节 微分方程及解的定义

1、常微分方程的概念。

2、常微分方程解的概念。

（1）通解（通积分）

（2）特解

3、初值问题（柯西问题）。

4、如何求一个曲线族满足的微分方程。

第二节 微分方程及解的几何解释

1、积分曲线，线素，线素场，方向场的概念。

2、微分方程及解的几何解释。

3、如何作出某些简单类型微分方程的线素场。

第二章 初等积分法

（一）教学目的与要求

熟练掌握初等积分法的几种类型，能作到快速判定方程类型，进而求解。掌握这些方法和技巧是学好本门课程及其他分支课程的基本训练。

（二）教学重点与难点

1、恰当方程的判定条件及如何用公式求解恰当方程。

2、变量可分离方程的求解。

3、一阶线形微分方程的形式特点与求解公式以及五点性质。

4、初等变换法。

5、积分因子法。

6、如何求已知曲线族的等角轨线族，正交轨线族。

（三）教学方式

以课堂讲授为主，多举例题。课后布置一定量的习题作为作业，通过批改作业及课堂上小测验督促学生学习，提高对本章内容的重视程度。

（四）教学内容

第一节 恰当方程

1、恰当方程的定义（全微分方程）。

2、定理：如何判定一个对称形式的 方程是恰当方程及利用公式求解。

第二节 变量可分离的方程

1、变量可分离方程的定义。

2、补充：某些丢失的解要找回来。

3、直接积分求解。

4、课后习题四给予讲解（涉及物理知识）。

第三节 一阶线形方程

1、一阶线形方程的定义。

2、求解一阶齐次线形方程的公式。

3、求解一阶非齐次线形方程的公式。

4、初步了解常数变异法。

5、一阶线形方程解的五条性质，部分做练习。

第四节 初等变换法

1、举两个例题说明某些不能求解的方程通过初等变换可以求解。

2、齐次方程： ，做变换 求解 。

3、形如 的方程如何作变换求解。

4、伯努力方程 做变换 。

5、黎卡提方程 形式上最简单的非线形方程求解只做一般了解。

第五节 积分因子法

1、积分因子的定义。

2、定理3，4分别给出两个特殊类型微分方程的积分因子

3、进一步介绍分组求积分因子。

4、定理6是课后部分习题的基础，做详细讲解。

第六节 应用举例

1、等角轨线族，正交轨线族的定义。

2、如何求已知曲线族的等角轨线族，正交轨线族。

第三章 毕卡定理

（一）教学目的与要求

存在和唯一性定理又称毕卡定理，是微分方程理论中的基本定理。要熟练记忆并深刻理解毕卡定理的内容。对于证明思想和方法，逐次迭代法构造毕卡序列，证明毕卡序列一致收敛到方程的唯一解 ，要熟练和掌握。解的延展定理是讨论方程某些解的存在区间问题，选讲中山大学，东北师范大学教材的部分内容，适当补充一些例题和课后习题，对于延展定理主要是使用推论。

（二）教学重点和难点

1、毕卡定理：李普西兹条件，替换条件。

2、证明过程。

3、补充说明。

4、解的延展定理和推论。

5、几道重要典型例题。

（三）教学方式

以课堂讲授为主，作到细致入微。要求学生课后认真复习，完成补充的课后作业。

（四）教学内容

第一节 毕卡定理

1、介绍李氏条件的概念及替换条件： 对 有连续偏导。

2、毕卡定理的内容及证明过程。

第二节 解的延拓

1、介绍局李普西兹条件。

2、举例讲解解的延拓情况。

3、引入解的延拓定理及推论。

4、使用定理及推论做补充习题，并布置补充的作业题。

第四章 奇解

（一）教学目的与要求

掌握求解一阶隐式微分方程的两种方法：微分法，参数法。掌握奇解概念及求奇解的方法。掌握包络的概念及包络的求法。掌握克莱洛方程的类型及解法。

（二）教学重点与难点

1、一阶隐式微分方程的求解，重在掌握微分法，参数法。

2、奇解概念及求奇解的方法，两个定理要运用自如。

3、包络的概念及求包络的求法，两个定理要运用自如。

4、奇解和包络的关系。

5、克莱洛方程的类型及解法。

（三）教学方式

以课堂讲授为主，补充例题和习题，扩充视野，多做练习题。

（四）教学内容

第一节 一阶隐式微分方程

1、形如 的方程利用微分法求解。

2、形如 的方程利用参数法求解。

3、包络的概念及如何使用两个定理求出曲线族的包络。

4、奇解概念及如何使用两个定理求出方程的奇解。

5、克莱洛方程的类型及解法。

第五章 高阶微分方程

（一）教学目的与要求

对于几种特殊类型的可降阶的高阶微分方程要掌握其解法；能作到 阶微分方程与 阶微分方程组之间的互化及找出二者解之间关系；熟知 阶标准微分方程组的两种向量形式及初值问题解的唯一性。

（二）教学重点与难点

1、几种特殊类型的可降阶的高阶微分方程的解法。

（1）

（2）

（3）恰当导数方程。

2、引入变量，使 阶微分方程与 阶标准微分方程组之间互化。

3、 阶标准微分方程组的向量形式。

（三）教学方式

以课堂讲授为主，辅以学生做课后习题。

（四）教学内容

第一节 几种特殊类型的可降阶的高阶微分方程

1、形如 的方程的解法，令 。

2、形如 的方程的解法，令 。

3、恰当导数方程。

4、补充习题。

第二节 维线形空间中的微分方程

1、 阶微分方程与 阶标准微分方程组之间的互化，引入变量

2、 阶标准微分方程组的两种向量形式， 是常用的一种。

3、 阶标准微分方程组的初值问题的解的存在唯一性。

第六章 线形微分方程组

（一）教学目的与要求

掌握线形微分方程组的一般理论主要是了解它的所有解的代数结构问题，中心问题是齐次线形微分方程组的基解矩阵。非齐次方程组的任一解可由基解矩阵通过积分求得。对于常系数线形微分方程组要能通过求特征根求得基解矩阵。对于高阶线形微分方程要求能求得齐次方程的基本解组，进而求通解。对于非齐次方程右端的两种特殊形式，能求出相应的特解，进而求通解。

（二）教学重点与难点

1、齐次线形微分方程组的通解构造。

2、刘维尔公式 。

3、基解矩阵的两性质。

4、非齐次方程组的通解构造及求解公式。

5、常系数线形微分方程组的基解矩阵。

（1）利用若当标准型求得

（2）利用待定指数函数法求得

6、常系数非齐次线形微分方程组的通解公式。

7、将方程组的某些理论推广到高阶线形微分方程上去。

8、高阶齐次线形微分方程的通解构造。

9、两种类型的高阶非齐次线形微分方程的通解构造。

（三）教学方式

以课堂讲授为主，通过多做例题，多做习题加深学生对授课内容的理解。

（四）教学内容

第一节 一般理论

1、齐次线形微分方程组

（1）通解构造（基解矩阵）

（2）利用朗斯基行列式判定线形相关（无关）

（3）基解矩阵的两个性质。

2、非齐次方程组

（1）通解构造

（2）利用常数变异法求出通解公式。

第二节 常系数线形微分方程组

1、矩阵指数函数的引入及性质。

2、常系数齐次线形微分方程组的基解矩阵为 。

3、利用若当标准型求得基解矩阵为 。

4、利用待定指数函数法求得基解矩阵。

（1）A有单根

（2）A有重根

5、举出可以不用定理5，6求解的方程组的特例。

第三节 高阶线形微分方程

1、高阶线形微分方程的一般理论

（1）齐次线形微分方程的通解构造。

（2）基本解组的引入及如何判定其为基本解组。

（3）非齐次线形微分方程的通解构造。

（4）重要例题。

2、常系数高阶线形微分方程

（1）利用特征方程的特征根求得齐次方程通解。

（2）就两种特殊类型的非齐次方程，如何利用其特殊性求得特 解，进而求通解。

（3）举例说明某些方程组可以转化为方程计算求解。

（4）本节课后大部分习题给予讲解。

三、教学方式与方法

理论及例题部分以课堂讲授为主。课后习题大部分由学生独立完成，较难的在辅导课时间给予讲解。通过批改作业及课堂进行小测验督促学生学习及检验学生对所学内容的掌握情况。

四、课程考核与要求

考核方法：闭卷笔试与平时成绩相结合，由教师掌握。采取百分制。

五、课程纲要制定程序

本课程纲要的制定是由师范学院院长梁晓俐教授、副院长牛平、数学系主任周毅、聂锡军、李艳红、于强共同研究初步定稿，由聂锡军老师具体执笔编写。

六、课程使用的教材与教学参考资料

（一）教材名称：常微分方程

（二）

参考资料：

1、常微分方程 东北师范大学

2、常微分方程 中山大学

3. 常微分方程 丁崇文

（三）其他参考资料:

1.常微分方程典型题解法和技巧 丁崇文

2.常微分方程习题与解答 丁崇文

3.常微分方程习题解 庄万

第一问：考研会给分吗？明确告诉你，会给分。考研高数只是规定了不允许使用高数考试范围以外的运算，比如说你把常微分方程初值问题做拉普拉斯变换来求解，这个不行，或者是你定义一个高维空间的映射和一系列运算，这也不行，但是算子法没有涉及到考试范围以外的运算。

第二问：评分的时候求解特解这一步是整体给分，你只要给出特解求解方法并且求解出来特解就得分，只有你求错了的情况下才会酌情按这一步正确的工作量加分。因此，你没有必要写的很具体，但是一定要完整表述出来你列写特解的必要过程，也就是说必须体现出来你特解是这么求的。

第三问：得到了正确解，但是形式不同老师会不会不知道。明确告诉你，不会不知道。微分算子法虽然在高数里面没有具体讲解，但是它是数学分析的重要内容。给你阅卷的人都是数学院的老师们，他们不可能不知道微分算子法求出来的特解形式上略有不同，所以不会给你误判，完全无需担心。

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