随机游走的无规则行走与扩散定律

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无规则行走在任意尺度上都具有相似结构。例如一个在二维（d=2）格子上游动，每一定时间以相同概率移动到其相邻位置，其轨迹即二维随机轨迹，同样可以扩展到三维。举个例子，你取2 个硬币一个1 分，一个5 分。你每五秒，将2 个硬币掷一次，1 分硬币用于左右移动标记，5 分硬币用于前后移动标记，绘出路径就是你的二维无规则行走。假如你走了1000 步那么你回到起点的方式M0 有多少种？那么么必须正反面各500 次。即，对一个特定投币序列将投出正面的序号列出清单，清单包括500 个不同的整数这个量为：1000！/500！，而任意两张清单只在元素存在换序的差异，则实际上并无区别所以必须除以可能的置换数500！。M0=1000！/（500！×500！），“！”表示阶乘。回到原点的概率P0=M0/ M，这个概率满足二项式分布。对于所有M 种可能可以用斯特林公式：lnM！≈M lnM－M + ½ln(2πM)。通过计算我们知道回到起点的概率很低。

要想找出第1000 步后你走了多远，你可以列出1000 次投币的结果序列然后对所有（x1000）的2次方 求平均，得到1000 步后的均方位置；这显然太复杂，好在还有另外的方法。我们可以将所有2的N次方 种可能行走一一配对，每一配对由相同的x（N-1 ）；{（N-1)为x的下脚标}的两个可能性相等的行走组成，只是最后一步不同。N 步随机性走的均方位移比N－1 步大a的2次方，后者又比N－2 步大a的2次方，均方位移=Na的2次方。a 为格子间隔，每一个格子点上游动的可能方向有2d 个（d 是格子维数）单位时间内游动的方差为D=a2/(2d)t ，D 为扩散系数（一些参考书中也用字母K 表示，a后面的2为次方，后面凡数字在字母后面都表示指数）。对于一维无规则行走的均方位移随时间线性增加2Kt，扩散常数D=a2/(2Δt)。这个逻辑可以推广到二维和三维。 图1.130 醉酒人的无规则行走 也许行走若干个步后他会回到出发点，但这样的概率非常小。他离开酒吧的距离满足扩散定律。 图1.131 (a)二维无规则行走；(b)当步骤更多，步幅更低时二维无规则行走；(c)三维无规则行走。 扩散以一个初始分布释放大量的无规则行走，观察他们的密度就会得到分布函数。1855 年法国生理学家Fick 提出了描述扩散规律的基本公式— 菲克定律，在一维（如x 方向扩散的）粒子流密度（即单位时间内在单位截面上扩散的粒子流）J N 与粒子数密度梯度dc/dx成正比。扩散通量J=－D×(dc/dx)，称为菲克定律又称扩散第一定律。进一步消掉J，找出浓度随时间的变化关系dc/dt=D(d2c/dx2)其中2都是上角标，称为菲克第二定律；在高等教材中可以写成偏导的形式d 换成?。

任何单次步骤不会遵从扩散定律，但只要等待足够长的时间和步骤，便可精确预测无规则行走。布朗运动就是无规则行走这一现象的宏观观察。通过扩散定律我们将布朗运动的微观参数（步长a 和间隔时间Δt）与宏观实验可观测量（扩散常数D）建立了联系。然而一个方程无法解出两个未知量，测量K 不足以得到a 和Δt。这意味着还需要其他能够说明摩擦与扩散定量联系的公式。

扩散定律是跨学科的普适定律

对无规则行走的数学处理使用了过于简化的假设，扩散定律是普适的，只要给定独立随机行走的某种分布，它就不依赖于具体的模型。涨落是随机的、混沌的，无规则行走的结果就是扩散，这包括物质扩散、动量扩散、热量扩散等。这也意味着结晶学、天文学、生物学、气象学、流体力学、经济学都将用到扩散定律。扩散定律是普适的，在这里我们作为一个结论而接受下来，具体的一系列数学证明过程给予舍弃。感兴趣的朋友可以参见任何一本物理化学教材或分形教材。

扩散定律与守恒量

扩散是一个随机涨落的过程，在本科一年级的物理课程已经提及一个落体最终会达到取决于摩擦的“末速度”。以悬浮颗粒来考虑摩擦，颗粒虽然受随机碰撞，仍获得了一个净漂移速度。v=f/ζ ，ζ=2m/Δt 其中ζ是黏性摩擦系数，与扩散系数一样可以实验测量。摩擦源于物理实体与周围热致扰动的流体随机碰撞。每一种颗粒当置于不同的溶剂中时都会有相应特征D（扩散系数）和ζ。球体的黏性摩擦系数与尺寸间存在简单关系，ζ=6πηR 斯托克斯（stokes）公式；R 是颗粒半径，η是常数称为流体黏度（水的黏度为10－3kg/ms）。由于有效步长a 和Δt 无法观察，要想证实扩散与粘滞仅仅是热运动的两个方面，我们还需要第三个关系。爱因斯坦注意到a 和Δt 的关系，按照推到理想气体定律的思路：(a/Δt)2=kBT/m，联合起来就构成爱因斯坦第一扩散公式：ζD=kBT。这个关系由爱因斯坦在1905 年的硕士论文中得到，这表明颗粒位置的涨落与摩擦阻力相联系，并且这个关系是定量普适的。越小的颗粒受到摩擦阻力越小，但扩散系数会更大，更容易扩散。ζD 的乘积提供了一个可证伪的预言来检验“热即分子的无规则运动”；这个与预言提出不久就立刻被佩兰（Jeans Perrin）和其他人的实验所证实。任何无规则行走携带的守恒量都各自对应一个扩散定律。 无规则行走只是布朗运动的理想状态

在很多系统都存在不同类型的无规则行走，他们都具有相似结构。单个的随机事件我们不可预测，但随机大量的群体行为，却是精确可知的，这就是概率世界的魅力，在偶然中隐含着必然。随机性造成了低尺度下的差异性，但在高尺度下又表现为共同的特征的相似性。按照概率的观点“宇宙即是所有随机事件概率的总和”。 椭球体布朗运动相关研究

虽然无规则行走导致的扩散满足以上的方程并有普适性，但假如这样的的“无规则行走”某个方向，并不是完全随机呢？以前面提到的投硬币为例子，一个1 分，一个5 分，其中1 分硬币破损使得正反面概率不相等，并且随机若干步后，将1 分和5 分硬币所代表的方向对调；那么二维的无规则行走路径必然发生改变。当年爱因斯坦的论文是探讨球形颗粒的布朗运动，我们知道球形颗粒的旋转并不影响他的平移，旋转的非球形例子却会影响它的平移。实际中，大量布朗运动的颗粒都是非球形的，所以更多的模型不得不考虑随机转动问题。其实即使对球形颗粒在黏性流体中，也要考虑随机转动产生的转动摩擦系数对扩散的影响。

宾夕法尼亚大学的网站报道，研究人员用数字视屏显微镜观察水中悬浮椭球体的随机旋转和移动。球形颗粒扩散分布将随时间逐渐变宽，为高斯型浓度分布；而椭球颗粒不满足高斯分布。随着布朗运动的深入研究，越来越多的实验表明布朗运动颗粒的行为与爱因斯坦一个世纪前的假设不同。2005 年10 月的物理评论快报，提到现在实验室可以跟踪布朗运动颗粒的测量精度达到微秒和纳米的尺度。科学家们也发现活细胞的许多基本过程由布朗运动所驱动。试验结果描述布朗运动的方程式偏离标准理论的，实际的布朗运动要比理想化的无规则行走要复杂。 图1.132 椭球体在水中的布朗运动。 标准的无规则行走，色彩标记显示出椭球的耦合方向和位移，并清楚的表明椭球的扩散其长轴比其短轴扩散更快。（此图来源于宾夕法尼亚大学网站关于布朗运动的研究） 布朗运动是分形的典型例子，理想状态下的布朗运动是高斯正态分布，当然更多的布朗运动研究细节我们不做探讨。任何事物都不是孤立的，都是相互作用、相互联系的。用还原论观点将系统一个个隔离是对事物的理想化，是在一定程度上精确定量描述系统，当然这也是认识事物必经的步骤，但是有缺陷的。

哥德尔不完备定理，以及认识主体对客体的反映永远存在这不完备性。我观赞同哥本哈根学派的主张“自然科学不是自然界本身，而是人和自然界间关系的一部分，因而依赖人”。无论用还原论还是整体论都是用抽象去阐明物质的特性，这些抽象在任何时候仅仅是近似地、有条件的把握了物质的本质，不是世界的全部。布朗运动研究的历史，具有典型性，有点像整个科学研究史的缩影。人对事物的认识总是渐进的，不断深入的，随着认识深入会发现各种模型都是理想化的条件。这种认识永远无法走向事物的绝对认识，因为孤立的事物是不存在的，所有的系统都是宇宙整体的一部分。

歌名：apid dohodo

蓖麻：高知

Nichibun＆中文谐音：

当时我咬它，让我感到痛苦。

坐在一口咬Ikko Scribble痛苦的痛苦

肮脏的回声（一切）　

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关于无意义世界的规则，没有任何关于无用（无用）的词

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恐怖在这个世界（现在的世界）我正在解决（现在）

世界世界解放yutaka的**

希望我轻轻受伤（Kibo）你可以更认真地给出

强烈的希望希望重新评估Shinya Go

扩展资料：

《威风堂堂》是由梅とら作词并作曲，初音ミク、镜音铃、巡音ルカ、GUMI、IA演唱的一首歌曲，该曲于2012年10月29日由梅とら上传至niconico发布，是色系神曲之一。

歌曲简介：2012年10月29日由创作者梅とら创作并上传至ニコニコ动画。

该歌曲由VOCALOID人物?“初音ミク、镜音リン、巡音ルカ、GUMI、IA”演唱。

以歌曲中的娇喘闻名，得到广大日本动漫歌曲翻唱爱好者的青睐，

其是梅とら的四字熟语舞曲系列中的作品，PV中的头发颜色的改变代表演唱者的改变。

参考资料：

威风堂堂百度百科

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